孩子明明刷了很多数学题，但就是不开窍，究竟缺了什么？

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这期大咖对谈节目，我邀请到了教减的老朋友陈诗峰老师担任嘉宾。他毕业于中山大学计算机系，同时是广东省初等数学学会副会长、广州图灵编程创始人。

今天就由陈诗峰老师和大家谈一谈，孩子学数学怎么才能“开窍”？

对谈精华摘录
1
让孩子刷题报班有没有意义？

孙明展：现在数学从孩子小学三年级开始就成为了大家关注的焦点了，基本上家长都是挺焦虑的。

您已经从事一线数学教育这么多年了，据您的观察，您觉得大家该不该为数学焦虑？

陈诗峰：首先，数学肯定是要学的，因为数学无论是在中小学，还是在大学，都是非常重要的基础科目。
家长之所以焦虑，就是因为自己不知道怎么学，被外面的机构带着走，或者被身边的家长、老师不断地灌输焦虑感。

我还发现很多孩子并不是不努力，他们还是挺勤奋地每天做很多题，但是做到一定程度就出现瓶颈现象、“天花板”现象，无论怎么增加做题量，成绩都只能勉强维持在原来的水平。
孙明展：我也听很多家长说，只要不加量补课，孩子数学就只有70分，不断刷题才能考95分。
陈诗峰：就是要靠一种无形的力量（刷题）不断地托着，自己没有上浮的动能。
孙明展 ：你觉得你见过的数学还不错的孩子，比如说你女儿，或者你的学生，都是“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”吗？
陈诗峰：大部分数学好的学生都是两者平衡，必须要动脑，同时要“动手”。“动手”就是练题，动脑是在做完题后总结归纳。
做题的目的不是要积累一个庞大的题库，而是为了加深自己对所学数学知识本身的认识。
学数学一定要有对数学知识本身的全局性、框架性和结构性的认识。
如果能在做题中把知识框架慢慢建立完善起来，以后见到什么题目都不害怕了。而且每做一道题，还能加深自己对这个知识框架的认知，检查自己的知识框架是否完整，需不需要微调。
孙明展：诗峰兄你讲这个其实我能理解，但是我相信很多机构也会这么说。
陈诗峰：很多机构的教学方法确实是简单粗暴的，一上课就开始做题，或者只用很短时间讲一讲知识点，绝大部分时间还是做题。做完题目再讲题目，让你记住一些所谓的“母题”“模板”。
孙明展：“母题”怎么理解？
陈诗峰：“母题”就是号称做一道题就可以掌握很多变种，可以适应所有的题，这本质上还是刷题思维。
数学学习的解题之母应该是知识本身，我们要知道一个知识本身的概念是怎么来的？它跟别的知识有什么推演关系？它会衍生出什么新的问题？必须搞清楚这些问题才行。
孙明展：你给大家举一个具象化的例子说一说好不好？
陈诗峰：比如几何，初等几何的性质基本上都是由对称性产生的。对称性产生了很多相等或者比例的关系。
所谓几何推理，就是把这份关系不停地传递出去，传递的距离越来越大，推理难度就越来越大，把中间的痕迹抹掉，就成为一个难题了。
所以很多家长会问一个核心的问题：怎么做几何辅助线？
一般人可能就会说，“遇到这种题型就做这条辅助线，遇到这个图形就做那条辅助线”，但孩子其实不明白为什么要这样做。
孙明展：对，我就记得我们初中学数学老是要背“遇到中线延长一倍”。
陈诗峰：但如果按照我的讲法，我会先讲一个哲学思想：所有做辅助线的原则，就是要补全对称性。
只要你做了这条线，这个图形看起来更对称了，至少方向是对的。因为补全了对称性之后，就出现了更多的相等、相似的关系了，两个关系一传递，可能就把起点和终点连接起来了。这就是整个推理的过程，我们必须要教会孩子这个思想。
我们应该是给孩子做减法，让他们先掌握数学的大框架，直观地了解从一个知识点到另一个知识点的推演关系和生成关系。

例如，MIT（麻省理工学院）在给学生上线性代数之前，会先请最好的教授来上几节线性代数的“big picture”（大局、大图景）课程，先把线性代数是讲什么的、解决什么问题、有哪些特色、有哪些重要的问题和结论，全部先讲一遍。
所以我提供给中小学生的解决方案，就是应该在他们开始学初等数学之前，先给他们一个大框架课程。
孙明展：听起来，这类大框架课程对于学数学很有sense的孩子肯定是有好处的，他们可以迅速往前学，知道前面的路大概是怎么样的，甚至还可以跳步，减少刷题、提高效率。
对于普通孩子，你觉得这类大框架课程有没有意义和价值呢？
陈诗峰：我认为对普通孩子意义更重要。
因为普通孩子往往就是缺乏big picture，所以盲目地刷题，导致效率很低，越刷越耗脑，越刷越没兴趣。
所以他们恰恰需要这种大框架课程，让他们认识到未来要学什么数学，每个知识点的直观想法是什么？不同知识之间的逻辑结构是怎么样的？
2
有必要学习速算、巧算技巧吗？


孙明展：您觉得现在技巧型的东西还有必要练吗？比如速算技巧、简便运算？很多家长应该都接触过，很多儿童数学思维课就是以简便运算、快算、巧算为主。
陈诗峰：小学阶段可以这样，因为小学阶段概念少，适合往“巧”的方向训练。
到了初中或高中阶段，这些训练就没有太大必要了。我们要需要了解通用性的方法，而“巧”就意味着在应用上窄。
孙明展：对，好用不通用。
陈诗峰：比如说乘法速算法，它往往只适用于某种特定情形，比如尾数得是某个数字，中间是0的才可以。
我觉得技巧对于低龄孩子培养数学兴趣、提高对数学的sense是可以的，但不适合高龄孩子，因为数学的本质是追求通用化、抽象化。
但是做题肯定是需要的，因为数学的训练离不开题目。但在做题之前，应该有一个知识体系，做题是为了丰富你对这个知识体系的认知。
孙明展：相互印证。
陈诗峰：对，你会越做越有感觉，越觉得这个题目设计得巧妙，有很多不同题目都能印证这个想法是对的。这样你会发现做题是一件很有意思的事情，而不是很累的事。
3
新高考形势下，要提前刷大学数学吗？
孙明展：现在又有新的说法了，因为新高考每年都在改革，所以有一种观点认为：要加大刷题量，过去刷的题库不够用了，要去刷微积分、线性代数了。
那你觉得按照现在的高考趋势，到底刷题是更有必要了，还是更没用了？
陈诗峰：新高考改革的目的，就是反刷题。
经过这么多年的高考和高等教育的发展，国家也发现了高考选拔人才的一些问题。很多学生靠刷题考了很高的分数，一到学大学数学就不对称了。
那么新高考从去年开始，最后一道压轴题都是请大学老师命题的，而且每年都是不同的。它不取材于传统的初等数学，而是高等数学概念的初等化。很多东西是现场定义，在题目、题干里定义，问题也是现场提出，要求用初等数学的方法解决。
这是要考查什么呢？学生自身的数学修养、数学思维，这是平时刷题训练不了的。
所以平时就要多做“减法”，多思考数学的核心问题、结构问题，这样才能培养出遇到新知识也不慌张的素质。
孙明展：这就有点回到了最原始的公理化思考体系，先把公理给你建构了，你只要在这个基础上稍微盖层楼就行。
陈诗峰：如果平时总是做一些自己很熟悉的题才做得快，那一遇到新高考就会发懵。新高考就是要考查你现学现卖的能力，普通的刷题是做不到的。
目前中学老师是不具备让学生刷高等数学题目的能力的，因为光是微积分就有无穷无尽的题目，怎么刷？它不是中学数学，不在中学的教学大纲里。
孙明展：但是如果给了你基础的知识，给了你基础的定义，只要在这个定义用中学知识推理一下就可以了。
陈诗峰：没问题。其实很多高等数学问题的某一些片段是完全可以用初等数学解决的。关键是你需要明白其中的一些概念，这种概念性的学习是中学生很缺乏的。
孙明展：这就能归入您说的“big picture”。
陈诗峰：或者说framework，框架性课程。框架性训练现在的孩子做得很少，这是市场缺乏的，也是我想提供的。
所以，我希望在今年寒假推出一个数理思维冬令营，为孩子们提供初等数学的大框架课程。这是一个为期5天的线上直播课，由我本人主讲。